どうも。kabonasuです。

「数とは何か」の第8回(最終回)。今回のテーマは「エピローグ」です。

ここまで、実数と虚数について詳しく解説していきました。しかし、これが数のすべてなのでしょうか。もちろん、人工的に数の種類はいくらでも作ることが可能ですが、その有用性が重要です。実数と虚数さえあればすべての方程式の解を表現することができます。しかし、複素数の世界をさらに拡張しようという試みもありました。ハミルトンという人物です。彼は複素数に第2の虚数を加え、3要素からなる数(三元数)をつくろうとしましたが、うまくいかず、複素数に第2の虚数と第3の虚数を加えた四元数という数を成り立たせました。この四元数では、乗法の交換法則が成り立たないという性質を持っています。四元数は、素粒子物理学、ロケットや人工衛星、3Dグラフィックなどで活用されています。さらに、八元数や十六元数などもあり、数の世界はさらに拡張されています。
数を集合としてとらえたとき、数の集合はそれぞれアルファベットで表せます。すると、以下のようになります。

数の集合とその記号
自然数 …$\mathbb{N}$
整数  …$\mathbb{Z}$
有理数 …$\mathbb{Q}$
実数  …$\mathbb{R}$
複素数 …$\mathbb{C}$
四元数 …$\mathbb{H}$
八元数 …$\mathbb{O}$
十六元数…$\mathbb{S}$

これらの記号は大学数学でとても使う記号です。
ところで、$\infty$は数なのでしょうか。この記号は「無限大」と読み、限りなく大きい数を表しています。実際、$\infty$は数ではありませんが、無限大やその逆数の無限小を数として取り入れた実数の集合を超実数と呼びます。

数は、人類にとってとても重要な概念です。数があるからこそ、数学は成り立ち、未来を予測することができます。数をどのように利用し、役立てていくか。これが、現在のわれわれに求められていることなのです。